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Dans cette partie, on s'intéresse à la modélisation du célèbre problème à trois corps. Dans un premier temps, on modélisera les interactions gravitationnelles classiques entre deux astres, puis on introduira un troisième corps massif.

\subsection{Problème à deux corps}

Pour modéliser les interactions gravitationnelles classiques entre deux astres, on s'intéresse au système suivant : deux corps $A$ et $B$, de masse $m_A$ et $m_B$, soumis uniquement à la force d'interaction gravitationnelle due à la présence de l'autre corps. $A$ est supposé de masse très grande devant celle de $B$, on le considère donc immobile.\\

On peut alors modéliser le système en projetant le principe fondamental de la dynamique sur l'axe $(Ox)$ et l'axe $(Oy)$, on obtient les équations différentielles suivantes : 
$$Y = \left(\begin{array}{c}
x_B\\
y_B\\
\dot{x_B}\\
\dot{y_B}
\end{array}
\right)\Rightarrow Y' = \left(\begin{array}{c}
\dot{x_B}\\
\dot{y_B}\\
\frac{\mathcal{G} m_A (x_A-x_B)}{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}\\
\frac{\mathcal{G} m_A (y_A-y_B)}{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}
\end{array}
\right)=f(Y)$$

\begin{wrapfigure}[15]{r}{9cm}
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{./resolutionerreurs.png}
\caption{Résolution des équations différentielles}
\end{wrapfigure}

En appliquant la méthode de \bsc{Runge-Kutta}, on obtient le graphe ci-contre pour les conditions initiales suivantes : \begin{itemize}
  \item $\text{le soleil}~ A : (m_A = 1.0,~ x_A = 0,~ y_A = 0)$, 
  \item $\text{la Terre}~ B : (m_B = 0.01,~ x_B = 2,~ y_B = 3)$,
  \item $\text{la vitesse initiale de la Terre :}~ y_0 = \left(\begin{array}{c}0\\2\end{array}\right)$.
\end{itemize}
~\\

Le point bleu symbolise la position de la Terre à l'instant $t = 0$. On remarque alors que la trajectoire ressemble à une ellipse (résultat attendue) mais n'en est pas tout à fait une. Cette erreur est dûe à la précision de la méthode de résolution (le pas temporel choisi).\\

En effet, on observe dans ce cas là que plus le temps passe plus on se rapproche du soleil et qu'aux alentours du soleil le nombre de point ne suffit plus pour rendre la courbe lisse. Cela témoigne de la valeur élevée de l'attraction aux alentours du soleil. Le pas d'itération doit dans ce cas là être augmenter.

\subsection{Problème à trois corps restreint}
Nous considèrons désormais en plus de la Terre, un astéroïde. Ce dernier ayant une masse négligeable, le mouvement de la Terre ne s'en verra alors pas du tout modifié. Nous devons alors modéliser le mouvement de l'astéroïde subissant à la fois l'attraction de la Terre et celle du Soleil. L'énnoncé simplifie encore : nous considèrons que la Terre a une trajectoire cyclique de période $2\pi$. Ainsi, la Terre est repérée à tout moment par l'angle $\theta(t) = t$ et un rayon fixe. Nous pouvons alors plus facilement sommer les deux équations obtenue en se replaçant dans le contexte du problème à deux corps.
$$
Y = \left(\begin{array}{c}
x_B\\
y_B\\
\dot{x_B}\\
\dot{y_B}
\end{array}
\right)
\Rightarrow Y' = 
\left(
\begin{array}{c}
\dot{x_B}\\
\dot{y_B}\\
\frac{\mathcal{G} m_A (x_A-x_B)}{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2} + \frac{\mathcal{G} m_B(cos(\theta)-x_A)}{((cos(\theta)-x_A)^2 + (sin(\theta)-x_B)^2)^{1.5}}\\
\frac{\mathcal{G} m_A (x_A-x_B)}{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2} + \frac{\mathcal{G} m_B(cos(\theta)-x_A)}{((sin(\theta)-x_A)^2 + (sin(\theta)-x_B)^2)^{1.5}}\\
\end{array}
\right)
=f(Y)$$

\begin{wrapfigure}[7]{r}{9cm}
\centering
\includegraphics[scale=0.355]{planete2.png}
\caption{Mouvement dans un référentiel fixe}
\end{wrapfigure}

~\\

Nous obtenons alors le mouvement de l'astéroïde ci-contre. Or ce schéma est difficile à interpréter compte 
tenu du mouvement de la Terre. L'idée va alors être de se placer dans le référentiel héliocentrique tournant avec 
la Terre via une rotation à chaque étape
\begin{wrapfigure}[15]{l}{9cm}
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{planetechaos.png}
\caption{Mouvement dans un référentiel tournant}
\end{wrapfigure}

~\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\

La Figure 16 montre dans ce référentiel tournant deux trajectoires dessinées pour des 
conditions initiales très proches. En effet, les points vert et bleu sont quasiment confondus à $t = 0$ mais 
plus le temps passe, plus les trajectoires diffèrent. Le problème à trois corps est chaotique.

Nous avons ainsi modélisé le problème à trois corps restreint. Ce modèle est une représentation acceptable
du mouvement de planètes. Néanmoins, l'aspect chaotique de ce système et la précision de la résolution 
nous empêche de se baser sur ce modèle pour établir des prédictions à long terme.
Les points d'équilibre d'un tel système correspondent aux points de Lagrange. Une manière de déterminer
la stabilité des points de Lagrange serait de tracer les équipotentielles du champs gravitationnel ou 
plus simplement le champ des tangentes pour déterminer les points singuliers du système. 
Faute de temps, nous n'avons pas réalisé cette étude.
